Question

9．已知實(shí)數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-4ax，x≥0}\\{-2{x}^{2}-3ax，x＜0}\end{array}\right.$
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，3]上的值域；
（2）設(shè)s₁，s₂，t₁，t₂∈R，s₁＜t₁，s₂＜t₂，若當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)m∈[s₁，t₁）∪（s₂，t₂]時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=m在[-2，2]上有唯一解，求t₁+t₂+s₁+s₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=2，求出函數(shù)的解析式，結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，3]上的值域；
（2）根據(jù)條件結(jié)合函數(shù)與方程之間的關(guān)系確定t₁，t₂，s₁，s₂與a的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-8x}&{x≥0}\\{-2{x}^{2}-6x}&{x＜0}\end{array}\right.$在區(qū)間[-2，-$\frac{3}{2}$]上為增函數(shù)，在區(qū)間[-$\frac{3}{2}$，2]]上為減函數(shù)，在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)．
∵f（-2）=4，f（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{2}$，f（2）=-8，f（3）=-6，
∴f（x）_max=$\frac{9}{2}$，f（x）_min=-8，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，3]上的值域?yàn)閇-8，$\frac{9}{2}$]．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，-$\frac{3a}{4}$]上為增函數(shù)，[-$\frac{3a}{4}$，a]上為減函數(shù)，[a，+∞）上為增函數(shù)，
令-2x²-3ax=f（a）=-2a²，得x=$\frac{a}{2}$，或x=-2a，
故f（-2a）=f（a）=-2a²．
令2x²-4ax=f（-$\frac{3a}{4}$）=$\frac{9}{8}$a²，得x=$\frac{9}{4}$a，或x=-$\frac{1}{4}$a，
故f（$\frac{9}{4}$a）=f（-$\frac{3a}{4}$）=$\frac{9}{8}$a²．
若關(guān)于x的方程f（x）=m在[-2，2]上有唯一解時(shí)，
實(shí)數(shù)m的取值范圍是m∈[s₁，t₁）∪（s₂，t₂]時(shí)，
則有$\left\{\begin{array}{l}{-2＜-2a}\\{2＞\frac{9}{4}a}\end{array}\right.$，即0＜a＜$\frac{8}{9}$，此時(shí)t₁=f（a）=-2a²，s₁=f（-2）=-8+6a，t₂=f（2）=8-8a，s₂=f（-$\frac{3a}{4}$）=$\frac{9}{8}$a²．
故t₁+t₂+s₁+s₂=-$\frac{7}{8}{a}^{2}-2a$，
又0＜a＜$\frac{8}{9}$，
故t₁+t₂+s₁+s₂∈（-$\frac{200}{81}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用分類討論的數(shù)學(xué)進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，難度較大．