Question

1．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面BB₁C₁C為菱形，B₁C的中點(diǎn)為O，AC=AB₁．

（1）文字?jǐn)⑹銎矫媾c平面垂直判定定理；
（2）求證：平面ABO⊥平面ACB₁．

Answer 1

分析 （1）通過作輔助線，作出二面角，利用定義法證明二面角的平面角的大小為90度即可得到證明；
（2）證明B₁C⊥平面ABO，即可證明平面ABO⊥平面ACB₁．

解答 （1）解：兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．
證明：設(shè)AB?α，AB⊥β，α∩β=CD，
則由AB?α，知AB、CD共面，
AB⊥β，CD?β，∴AB⊥CD，垂足為點(diǎn)B，
在平面β內(nèi)過點(diǎn)B作直線BE⊥CD，
則∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，
又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角，
∴α⊥β；
（2）證明：∵AC=AB₁，∴三角形ACB₁為等腰三角形，
∵O為B₁C的中點(diǎn)，
則AO⊥B₁C，
菱形BB₁C₁C，則B₁C⊥BC₁，
AO∩BC₁=O，AO，BC₁⊆平面ABO，AO⊆平面ABO
則有B₁C⊥平面ABO
又因?yàn)锽₁C⊆平面ACB₁
所以平面ABO⊥平面ACB₁．

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直判定的證明與運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．