Question

11．已知拋物線x²=2py（p＞0）與直線3x-2y+1=0交于A，B兩點，$|{AB}|=\frac{5}{8}\sqrt{13}$，點M在拋物線上，MA⊥MB．
（Ⅰ） 求p的值；
（Ⅱ） 求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B兩點橫坐標(biāo)的和與積，由弦長公式求得p的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出A，B的坐標(biāo)，設(shè)出M的坐標(biāo)，利用MA⊥MB得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，代入根與系數(shù)的關(guān)系求得答案．

解答 解：（Ⅰ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y+1=0}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，得x²-3px-p=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=3p，x₁x₂=-p，
由$|AB|=\sqrt{1+（\frac{3}{2}）^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}\sqrt{9{p}^{2}+4p}=\frac{5}{8}\sqrt{13}$，解得$p=\frac{1}{4}$；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得A（1，2），$B（-\frac{1}{4}，\frac{1}{8}）$．
設(shè)點M（x₀，y₀），由MA⊥MB得，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，
即$（{x_0}-1）（{x_0}+\frac{1}{4}）+（{y_0}-2）（{y_0}-\frac{1}{8}）=0$，
將${y_0}=2x_0^2$代入得：$（{x_0}-1）（{x_0}+\frac{1}{4}）+4（{x_0}-1）（{x_0}+1）（{x_0}+\frac{1}{4}）（{x_0}-\frac{1}{4}）=0$，
又x₀≠1且${x_0}≠-\frac{1}{4}$，得$1+4（{x_0}+1）（{x_0}-\frac{1}{4}）=0$，
解得x₀=0或${x_0}=-\frac{3}{4}$，
∴點M的坐標(biāo)為（0，0）或$（-\frac{3}{4}，\frac{9}{8}）$．

點評 本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，是中檔題．