Question

【題目】已知函數(shù)f(x）=xlnx，g(x)=,

（1）求f(x)的最小值；

（2）對任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）證明：對一切，都有成立．

Answer 1

【答案】(1) (2)（ (3)見證明

【解析】

（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律確定函數(shù)單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定最小值取法；（2）先分離不等式，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求對應(yīng)函數(shù)最值即得結(jié)果；（3）構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，再利用兩函數(shù)最值關(guān)系進(jìn)行證明.

（1）

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x）的最小值為f(）=；

（2）因?yàn)?/span>所以問題等價(jià)于在上恒成立，

記則，

因?yàn)?/span>，

令

函數(shù)f(x）在（0,1）上單調(diào)遞減;

函數(shù)f(x）在（1，+）上單調(diào)遞增；

即，

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（.

（3）問題等價(jià)于證明

由（1）知道

，令

函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞增；

函數(shù)在（1，+）上單調(diào)遞減；

所以{，

因此，因?yàn)閮蓚�(gè)等號不能同時(shí)取得，所以

即對一切，都有成立.