Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$當x∈[0，10]時，關于x的方程f（x）=x的所有解的和為（　�。�

• A． 50
• B． 55
• C． 60
• D． 65

Answer 1

分析 解方程x²+2x=x得出x=0或x=-1，結合函數(shù)的性質得出f（n）=n，n∈N，故得出f（x）=x的解為非負整數(shù)．

解答 解：當x≤0時，令f（x）=x得：x²+2x=x，解得x=-1或x=0．
又當x＞0時，f（x）=f（x-1）+1，
∴f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，…f（10）=10，
∴f（x）=x在[0，10]上共有11個解，分別為0，1，2，3，…10．
∴方程f（x）=x的所有解的和為0+1+2+3+…+10=$\frac{0+10}{2}×11$=55．
故選B．

點評 本題考查了函數(shù)零點的個數(shù)判斷，函數(shù)性質的應用，也可借助函數(shù)圖象進行判斷，屬于中檔題．