Question

2．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列，且滿足a₃=8，a₆=17，b₁=2，b₁b₂b₃=9（a₂+a₃+a₄）．
（1）分別求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=log₃b_n，求證：數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，并求其公差d′和首項(xiàng)c₁；
（3）設(shè)T_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2，其中n=1，2，…，求T_n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出通項(xiàng)公式，
（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等差數(shù)列的定義即可證明，
（3）根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₃=8，a₆=17，
∴d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{3}}{6-3}$=$\frac{17-8}{3}$=3，
∴a_n=a₃+（n-3）d=8+3（n-3）=3n-1，
∴a₂+a₃+a₄=3a₃=24，
∵數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，b₁=2，
∴b₁b₂b₃=2×2q×2q²=8q³=9（a₂+a₃+a₄）=9×24，
解得q=3，
∴b_n=2×3^n-1，
（2）∵c_n=log₃b_n=n+log₃2-1，
∴c_n+1-c_n=n+1+log₃2-1-n-log₃2+1=1=d′
∵c₁=log₃b₁=1+log₃2-1=log₃2，
∴數(shù)列{c_n}是以首項(xiàng)為log₃2，公差d′=1的等差數(shù)列
（3）∵b_n=2×3^n-1，
∴{b_3n-2}是以b₁=2為首項(xiàng)，以q³=27為等比的等比數(shù)列，
∴T_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2=$\frac{2（1-2{7}^{n}）}{1-27}$=$\frac{1}{13}$（27ⁿ-1）

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)和定義以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題．