Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2lnx，h（x）=x²-x+a，若函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在區(qū)間[1，3]上恰有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：由k′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

．可知：當x=2時，函數(shù)k（x）取得最小值．函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在區(qū)間[1，3]上恰有兩個不同的零點，必需

k(1)≥0 k(2)＜0 k(3)≥0

，解得即可．

解答： 解：k（x）=x-2lnx-a（x∈[1，3]）．
k′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

．
可知：當x∈[1，2）時，k′（x）＜0，函數(shù)k（x）單調(diào)遞減；當x∈（2，3]時，k′（x）＞0，函數(shù)k（x）單調(diào)遞增．
∴當x=2時，函數(shù)k（x）取得最小值，k（2）=2-2ln2-a．
∵函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在區(qū)間[1，3]上恰有兩個不同的零點，
∴

k(1)≥0 k(2)＜0 k(3)≥0

，解得2-2ln2＜a≤3-2ln3．
∴實數(shù)a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3]．
故答案為：（2-2ln2，3-2ln3]．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值及函數(shù)的零點問題，考查了轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．