Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x+2cos²x-1，x∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用倍角（降次升角）公式和輔助角（和差角）公式，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0， 

π

2

]時(shí)，2x+

π

4

∈[

π

4

， 

5π

4

]，進(jìn)而根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到f（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵f(x)=sin2x+cos2x=

2

 sin (2x+

π

4

)，x∈R…（2分）
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ (k∈Z)，
解得 -

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ (k∈Z)，
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

3π

8

+kπ， 

π

8

+kπ] (k∈Z)…（5分）
（2）當(dāng)x∈[0， 

π

2

]時(shí)，2x+

π

4

∈[

π

4

， 

5π

4

]，
所以，當(dāng)2x+

π

4

=

5π

4

，即當(dāng)x=

π

2

時(shí)，
f（x）有最小值f(

π

2

)=-1…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的單調(diào)性和最值，熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．