Question

20．點P在圓O：x²+y²=8上運動，PD⊥x軸，D為垂足，點M在線段PD上，滿足$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MD}$．
（Ⅰ） 求點M的軌跡方程；
（Ⅱ） 過點Q（1，$\frac{1}{2}$）作直線l與點M的軌跡相交于A、B兩點，使點Q為弦AB的中點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判斷M線段PD的中點，設(shè)M（x，y），則P（x，2y），運用代入法，即可得到所求軌跡方程；
（Ⅱ） 方法一、運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，化簡整理可得斜率k，由點斜式方程可得直線方程；
方法二、設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B兩點在橢圓上，代入橢圓方程，運用作差法和斜率公式，再由點斜式方程可得直線的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵點M在線段PD上，滿足$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MD}$，
∴點M是線段PD的中點，
設(shè)M（x，y），則P（x，2y），
∵點P在圓O：x²+y²=8上運動，
則x²+（2y）²=8，
即$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$，
故點M的軌跡方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$．                
（Ⅱ） 方法一：當(dāng)直線l⊥x軸時，由橢圓的對稱性可得弦AB的中點在x軸上，
不可能是點Q，這種情況不滿足題意．                      
設(shè)直線l的方程為$y-\frac{1}{2}=k（x-1）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}-k}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，
可得$（1+4{k^2}）{x^2}+8k（\frac{1}{2}-k）x+4{（\frac{1}{2}-k）^2}-8=0$，
由韋達定理可得x₁+x₂=-$\frac{4k-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
由AB的中點為$Q（{1，\frac{1}{2}}）$，可得-$\frac{4k-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=2，
解得$k=-\frac{1}{2}$，
即直線l的方程為y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1），
則直線l的方程為x+2y-2=0．                  
方法二：當(dāng)直線l⊥x軸時，由橢圓的對稱性可得弦AB的中點在x軸上，
不可能是點Q，這種情況不滿足題意．                     
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
A、B兩點在橢圓上，
滿足 $\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_1}^2}}{8}+\frac{{{y_1}^2}}{2}={1_{\;}}_{\;}（1）\\ \frac{{{x_2}^2}}{8}+\frac{{{y_2}^2}}{2}={1_{\;}}_{\;}（2）\end{array}\right.$，
由（1）-（2）可得 $\frac{{{x_1}^2-{x_2}^2}}{8}+\frac{{{y_1}^2-{y_2}^2}}{2}=0$，
則 $\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}•\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=-\frac{1}{4}$，
由AB的中點為$Q（{1，\frac{1}{2}}）$，可得x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，代入上式${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{1}{2}$，
即直線l的方程為$y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}（x-1）$，
∴直線l的方程為x+2y-2=0．

點評 本題考查軌跡方程的求法，注意運用中點坐標(biāo)公式和代入法，考查直線的方程的求法，注意運用點差法或韋達定理，考查運算能力，屬于中檔題．