Question

12．已知橢圓C：x²+4y²=4，直線$y=\frac{1}{2}x+b$與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）若b=1，求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得a，b，c，即可得到所求焦點(diǎn)；
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，消去y，得到x的方程，再由判別式大于0，解不等式即可得到所求范圍；
（Ⅲ）若b=1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓方程x²+4y²=4得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
可知 a²=4，b²=1，c²=3，
所以橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)$（-\sqrt{3}，0），（\sqrt{3}，0）$；
（Ⅱ）直線方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+b\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$，
消y，整理得x²+2bx+2b²-2=0，①，
由直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，則有△=4b²-4（2b²-2）＞0，
解得$-\sqrt{2}＜b＜\sqrt{2}$；
（Ⅲ）若b=1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（Ⅱ）中的①式得x₁+x₂=-2，x₁x₂=0，且k=$\frac{1}{2}$，
可得弦長(zhǎng)$|AB|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程及運(yùn)用，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．