Question

10．設函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+4}{x+b}$是奇函數(shù)，且f（1）=5．
（1）求a和b的值；
（2）求證：當x∈（0，+∞）時，f（x）≥4．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)在定義域內(nèi)有意義可得b=0，結(jié)合f（1）=5求得a值；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減，在[2，+∞）上單調(diào)遞增，從而得到f（x）在（0，+∞）上的最小值，答案可證．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+4}{x+b}$的定義域為{x|x≠-b}，即f（-b）不存在，
若b≠0，則f（b）有意義，這與f（x）為奇函數(shù)矛盾，故b=0．
∵f（1）=5，∴$\frac{a×{1}^{2}+4}{1+0}=5$，解得a=1；
（2）證明：設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{{x}_{1}}^{2}+4}{{x}_{1}}-\frac{{{x}_{2}}^{2}+4}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-4）}{{x}_{1}{x}_{2}}$．
①若x₁，x₂∈（0，2]，則x₁x₂＜4，于是x₁x₂-4＜0，從而f（x₁）-f（x₂）＞0；
②若x₁，x₂∈[2，+∞），則x₁x₂＞4，于是x₁x₂-4＞0，從而f（x₁）-f（x₂）＜0．
由①②知，函數(shù)f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減，在[2，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f（x）在（0，+∞）上的最小值為f（2）=$\frac{{2}^{2}+4}{2}=4$．
∴f（x）≥4．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，訓練了利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．