Question

15．在等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，記S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，T_n為數(shù)列{a_n³}的前n項(xiàng)和，若S_3n=7T_n，則公比q的值為-3或2．

Answer 1

分析 由題意可得等比數(shù)列{a_n}的公比，可求S_3n，可判數(shù)列{a_n³}是1為首項(xiàng)q³為公比的等比數(shù)列，可得T_n，代入已知可解q值．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}中a₁=1，a_n=q^n-1．
則a_n³=（q^n-1）³=（q³）^n-1，
即數(shù)列{a_n³}是1為首項(xiàng)q³為公比的等比數(shù)列，
∴S_3n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3n}）}{1-{q}^{3}}$=$\frac{1-{q}^{3n}}{1-{q}^{3}}$，
T_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3n}）}{1-q}$=$\frac{1-{q}^{3n}}{1-q}$，
由S_3n=7T_n可得$\frac{1-{q}^{3n}}{1-{q}^{3}}$=7×$\frac{1-{q}^{3n}}{1-q}$，
即1-q³=7（1-q），
即1+q+q²=7，
則q²+q-6=0．
解得q=2或q=-3，
故答案為：-3或2

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．