Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為π．
（1）求f（$\frac{π}{3}$）的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩角和差的正弦公式化簡f（x）的解析式，從而求得f（$\frac{π}{3}$）的值．
（2）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調性求得g（x）的單調遞減區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2[$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（ωx+φ）-$\frac{1}{2}$cos（ωx+φ）]=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），
因為f（x）為偶函數(shù)，所以φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈z，
即φ=$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z．又因為0＜φ＜π，所以φ=$\frac{2π}{3}$．
所以f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=2cosωx．
由題意得$\frac{2π}{ω}$=2π，所以ω=1．
故f（x）=2cosx，因此f（$\frac{π}{3}$）=2cos$\frac{π}{3}$=1．
（2）將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度后，得到y(tǒng)=2cos（x-$\frac{π}{6}$）的圖象．
再將所得圖象橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)=2cos（$\frac{1}{4}$x-$\frac{π}{6}$）的圖象．
所以g（x）=2cos（$\frac{1}{4}$x-$\frac{π}{6}$）．
令2kπ≤$\frac{x}{4}$-$\frac{π}{6}$≤2kπ+π（k∈Z），
求得 8kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤8kπ+$\frac{14π}{3}$（k∈Z），
因此g（x）的單調遞減區(qū)間為[8kπ+$\frac{2π}{3}$，8kπ+$\frac{14π}{3}$]（k∈Z）．

點評 本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的單調性，奇偶性，周期性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．