Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-klnx，k＞0．
（Ⅰ）若f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過點(diǎn)（2，2），求k的值．
（Ⅱ）若f（x）的最小值小于零，證明f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上僅有一個零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，求得切線方程，代入點(diǎn)（2，2），可得k=1；
（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，進(jìn)而得到f（x）的最小值，判斷f（x）的單調(diào)性，求得f（1）＞0，f（$\sqrt{e}$）＜0，由零點(diǎn)存在定理，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²-klnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-$\frac{k}{x}$，（x＞0，k＞0），
f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=f′（1）=2-k，
切點(diǎn)為（1，1），
則f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-1=（2-k）（x-1），
切線過點(diǎn)（2，2），即有2-1=2-k，
解得k=1；
（Ⅱ）證明：由f′（x）＜0可得-$\sqrt{\frac{k}{2}}$＜x＜$\sqrt{\frac{k}{2}}$，又x＞0，可得0＜x＜$\sqrt{\frac{k}{2}}$，
由f′（x）＞0可得x＞$\sqrt{\frac{k}{2}}$，
即有f（x）在（0，$\sqrt{\frac{k}{2}}$）遞減，在（$\sqrt{\frac{k}{2}}$，+∞）遞增，
即f（x）在x=$\sqrt{\frac{k}{2}}$處取得最小值，且為f（$\sqrt{\frac{k}{2}}$）=$\frac{k}{2}$-kln$\sqrt{\frac{k}{2}}$=$\frac{k}{2}$-$\frac{k}{2}$ln$\frac{k}{2}$，
由f（$\sqrt{\frac{k}{2}}$）＜0可得k＞2e，即為$\sqrt{\frac{k}{2}}$＞$\sqrt{e}$，
即f（x）在（0，$\sqrt{e}$]為減函數(shù)，
又f（1）=1＞0，f（$\sqrt{e}$）=e-kln$\sqrt{e}$=e-$\frac{k}{2}$＜0，
即f（1）f（$\sqrt{e}$）＜0，
則有f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上僅有一個零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用和函數(shù)的零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，屬于中檔題．