Question

已知：AO⊥平面OBC，A-BC-O的平面角為α．求證：cosα=

S△OBC

S△ABC

．并類比平面直角三角形ABC（C為斜邊），cosA=

a

c

．寫出你的解題反思或解題感悟．

Answer 1

考點(diǎn)：類比推理

專題：空間角

分析：本題通過作出二面角的平面角，實(shí)現(xiàn)立體問題的平面化研究，從而降低了難度，將問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的問題，三角函數(shù)問題與面積問題，進(jìn)行計(jì)算得到本題結(jié)論．反思類比的條件和結(jié)論，得到本題結(jié)論．

解答： （1）證明：過點(diǎn)O作BC邊所在直線的垂線，垂足為H，連結(jié)OH、AH，
∵AO⊥平面OBC，
∴AO⊥BC，
∵OH⊥BC，
∴BC⊥平面OAH，
∴BC⊥AH，
∴∠AHO為二面角A-BC-O的平面角，
∴∠AHO=α．
在△AOH中，cosα=cos∠AHO=

OH

AH

，
∵

S△OBC

S△ABC

=

1 2 ×BC×OH

1 2 ×BC×AH

=

OH

AH

，
∴cosα=

S△OBC

S△ABC

．
（2）在△AOH中，有cos∠AHO=

OH

AH

，
在空間四邊形AOBC中，有cosα=

S△OBC

S△ABC

．
感悟：
兩個(gè)結(jié)論的前提都是有垂直條件的存在，一個(gè)是在線線垂直條件下，一個(gè)是在線面垂直條件下，
結(jié)論是由平面圖形拓展為立體圖形，角由線線角拓展成了面面角，由線線比，拓展成了面積比．
另一方面，面是由線組成的，其結(jié)論與祖暅原理也在類似之處．

點(diǎn)評：本題考查了立體幾何的二面角的計(jì)算公式的證明，還考查了類比的思想，本題有一定的思維難度，有點(diǎn)開放性，屬于好題．