Question

8．在四棱錐P-ABCD中，△PAD為正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E為AD的中點，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4．
（Ⅰ）求證：平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱CD上是否存在點M，使得AM⊥平面PBE？若存在，求出$\frac{DM}{DC}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出PE⊥AD，從而PE⊥平面ABCD，進而PE⊥CD，由AB∥CD，AB⊥AD，得CD⊥AD，從而CD⊥平面PAD，由此能證明平面PCD⊥平面PAD．
（Ⅱ）在平面ABCD內作直線EF⊥AD，以E為原點建立空間直角坐標系E-xyz，利用向量法能求出直線PB與平面PCD所成角的正弦值．
（Ⅲ）在棱CD上假設存在點M，使得AM⊥平面PBE，由PE⊥平面ABCD，得PE⊥AM．要使AM⊥平面PBE成立，只需AM⊥EB成立，利用向量法能求出$\frac{DM}{DC}=\frac{1}{4}$．

解答 （本小題滿分14分）
證明：（Ⅰ）∵△PAD為正三角形，E為AD的中點，
∴PE⊥AD．
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PE⊥平面ABCD．
∵CD?平面ABCD，∴PE⊥CD．
∵AB∥CD，AB⊥AD，∴CD⊥AD．
∵PE∩AD=E，∴CD⊥平面PAD．
∵CD?平面ABCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．…（4分）
解：（Ⅱ）在平面ABCD內作直線EF⊥AD．
∴EF⊥平面PAD，∴EF⊥PE．
以E為原點建立空間直角坐標系E-xyz，如圖所示．
則P（0，0，$\sqrt{3}$），A（0，-1，0），B（2，-1，0），C（4，1，0），D（0，1，0）．
$\overrightarrow{PB}$=（2，-1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（4，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），
設平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=4x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{n}$=（0，3，$\sqrt{3}$），
設直線PB與平面PCD所成的角為α．
則sinα=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}$＞|=|$\frac{-3-3}{2\sqrt{2}×2\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴直線PB與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．…（9分）
（Ⅲ）在棱CD上假設存在點M，使得AM⊥平面PBE．
∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AM．
要使AM⊥平面PBE成立，只需AM⊥EB成立．
設M（x₀，y₀，z₀），$\frac{DM}{DC}=λ$．λ∈[0，1]
∴$\overrightarrow{DM}=λ\overrightarrow{DC}$，即（x，y-1，z）=λ（4，0，0）．∴x=4λ，y=1，z=0．∴M（4λ，1，0）．
∵$\overrightarrow{EB}=（2，-1，0），\overrightarrow{AM}=（4λ，2，0）$，
∴由$\overrightarrow{EB}$⊥$\overrightarrow{AM}$，得$\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{AM}$=0，即8λ-2=0．解得$λ=\frac{1}{4}$∈[0，1]．
故$\frac{DM}{DC}=\frac{1}{4}$．…（14分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查滿足線面垂直的線段比值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．