Question

13．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），B（0，-1），點(diǎn)P是橢圓上在第一象限的點(diǎn)，直線PA交y軸于點(diǎn)M，直線PB交x軸于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；
（Ⅱ）是否存在點(diǎn)P，使得直線MN與直線AB平行？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意設(shè)所求橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，則有a=2，b=1，利用隱含條件求得c，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率可求；
（Ⅱ）存在點(diǎn)P，使得直線MN與直線AB平行．設(shè)P（m，n）（m＞0，n＞0），把P的坐標(biāo)代入橢圓方程，可得m²+4n²=4．分別求出M，N的坐標(biāo)，可得MN所在直線的斜率，利用k_AB=k_MN列式得到關(guān)于m，n的另一方程，聯(lián)立求出m，n值得答案．

解答 解：（Ⅰ）依題意設(shè)所求橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．
∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），B（0，-1），
∴a=2，b=1，則c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=\sqrt{3}$．
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
（Ⅱ）存在點(diǎn)P，使得直線MN與直線AB平行．
設(shè)P（m，n）（m＞0，n＞0）．
則$\frac{{m}^{2}}{4}+{n}^{2}=1$，即m²+4n²=4．
∵${k_{PA}}=\frac{n}{m+2}$，∴${l_{PA}}：y=\frac{n}{m+2}（x+2）$，
令x=0，則${y_M}=\frac{2n}{m+2}$，∴$M（0，\frac{2n}{m+2}）$．
∵${k_{PB}}=\frac{n+1}{m}$，∴${l_{PB}}：y+1=\frac{n+1}{m}x$．
令y=0，則${x_N}=\frac{m}{n+1}$，∴$N（\frac{m}{n+1}，0）$．
∴${k_{MN}}=\frac{{\frac{2n}{m+2}-0}}{{0-\frac{m}{n+1}}}=\frac{2n（n+1）}{-m（m+2）}$．
若直線MN與直線AB平行，那么k_AB=k_MN．
∵${k}_{AB}=-\frac{1}{2}$，∴$\frac{2n（n+1）}{-m（m+2）}=-\frac{1}{2}$．
即4n²+4n=m²+2m．
∴m²-4n²+2m-4n=0．
∴（m+2n）（m-2n）+2（m-2n）=0．
即（m-2n）（m+2n+2）=0．
∵m＞0，n＞0，∴m=2n，得4n²+4n²=4．
解得$n=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則$m=\sqrt{2}$．
∴$P（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．