Question

6．已知雙曲線 C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，A B 為左、右頂點(diǎn)，點(diǎn) P 為雙曲線 C 在第一象限的任意一點(diǎn)，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB，PO 的斜率分別為k₁，k₂，k₃，記m=k₁k₂k₃，則 m 的取值范圍為（0，2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出b=$\sqrt{2}$a，k₁k₂=$\frac{y}{x+a}•\frac{y}{x-a}$=2，0＜k₃＜$\sqrt{2}$，由此能求出m=k₁k₂k₃的取值范圍．

解答 解：∵雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，∴b=$\sqrt{2}$a，
設(shè)P（x，y），∵點(diǎn)P為雙曲線C在第一象限的任意一點(diǎn)，∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
∵A，B為雙曲線C的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA，PB，PO的斜率為k₁，k₂，k₃，
∴k₁k₂=$\frac{y}{x+a}•\frac{y}{x-a}$=2，
又∵雙曲線漸近線為y=$±\sqrt{2}$x，∴0＜k₃＜$\sqrt{2}$，
∴0＜m=k₁k₂k₃＜2$\sqrt{2}$，
故答案為：（0，2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查斜率乘積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，要熟練掌握雙曲線的簡單性質(zhì)．