Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2alnx（a∈R且a≠0）
（1）當(dāng)實(shí)數(shù)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）a=1時(shí)，f（x）=x²-2lnx，得f′（x）=2x-

2

x

，從而f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）先求出f′（x）=2x-

2a

x

，再分別討論①a＜0時(shí)，②a＞0時(shí)的情況，從而求出函數(shù)在[1，2]上的最小值．

解答： 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=x²-2lnx，
∴f′（x）=2x-

2

x

，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）∵f′（x）=2x-

2a

x

，
①a＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]遞增，
∴f（x）在[1，2]上的最小值為：f（1）=1，
②a＞0時(shí)，
令f′（x）＞0，解得：x＞

a

，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

a

，
∴f（x）在（0，

a

）遞減，在（

a

，+∞）遞增，
當(dāng)

a

≤1時(shí)，f（x）在[1，2]上的最小值為：f（1）=1，
當(dāng)

a

＞1時(shí)，f（x）在[1，2]上的最小值為：f（

a

）=a-alna．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類(lèi)討論思想，是一道綜合題．