Question

在平面直角坐標系xOy中，已知F₁，F₂分別是雙曲線G：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，雙曲線G與拋物線y²=-4x有一個公共的焦點，且過點（-

6

2

，1）
（Ⅰ）求雙曲線G的方程；
（Ⅱ）設直線l與雙曲線G相切于第一象限上的一點P，連接PF₁，PF₂，設l的斜率為k，直線PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂，試證明

1

kk1

+

1

kk2

為定值，并求出這個定值；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）問的條件下，作F₂Q⊥F₂P，設F₂Q交l于點Q，證明：當點P在雙曲線右支上移動時，點Q在一條定直線上．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）依題意得c=1，

3

2a2

-

1

b2

=1，由此能求出雙曲線方程．
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），l：y-y₀=k（x-x₀），則x2-(k(x-x0)+y0)2=

1

2

，代入雙曲線方程得(1-k2)x2+(2k2x0-2ky0)x-k2x02+2x0y0k-

1

2

-y02=0，由此能證明

1

kk1

+

1

kk2

=

y0

x0

（

x0+1

y0

+

x0-1

y0

）=2（定值）．
（Ⅲ）由kPF2=

y0

x0-1

，得

y= x0x-1/2 y0 y=- (x0-1)(x-1) y0

，由此能證明點Q恒在定直線x=

1

2

上．

解答： （Ⅰ）解：依題意得c=1，∴a²+b²=1，
∵雙曲線過點（-

6

2

，1），∴

3

2a2

-

1

b2

=1，
∴a2=b2=

1

2

，…（2分）
∴雙曲線方程為x2-y2=

1

2

…（3分）
（Ⅱ）證明：設P（x₀，y₀），l：y-y₀=k（x-x₀），
∴x2-(k(x-x0)+y0)2=

1

2

，代入雙曲線方程得：(1-k2)x2+(2k2x0-2ky0)x-k2x02+2x0y0k-

1

2

-y02=0，
依題意得△=0，
∴(x02-

1

2

)k2-2x0y0k+y02+

1

2

=0，
∴y02k2-2x0y0k+x02=0，∴k=

x0

y0

…（6分）
∴k1=

y0

x0+1

，k2=

y0

x0-1

，
∴

1

kk1

+

1

kk2

=

y0

x0

（

x0+1

y0

+

x0-1

y0

）=2（定值）…（8分）
（Ⅲ）證明：kPF2=

y0

x0-1

，
∴kF2Q=-

x0-1

y0

，∴l：y=

x0x- 1 2

y0

…①，
F2Q：y=-

x0-1

y0

(x-1)…②，
由①②得

y= x0x-1/2 y0 y=- (x0-1)(x-1) y0

，
∴2x0x-x0-x+

1

2

=0，∴(x0-

1

2

)(2x-1)=0，
∵x0≠

1

2

，∴2x-1=0，
∴點Q恒在定直線x=

1

2

上．…（13分）

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查直線斜率乘積的倒數和為定值的證明，考查動點恒在定直線上的證明，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的靈活運用．