Question

5．一種設(shè)備的價(jià)值為a元，設(shè)備維修和消耗費(fèi)用第一年為b元，以后每年增加b元，用t表示設(shè)備使用的年數(shù)，且設(shè)備年平均維修、消耗費(fèi)用與設(shè)備平均價(jià)值費(fèi)用之和為y元，當(dāng)a=450000，b=1000時(shí)，求這種設(shè)備的最佳更新年限（使用平均費(fèi)用最低的t）．

Answer 1

分析 這種設(shè)備使用了t年，年平均設(shè)備維修、消耗費(fèi)用為$\frac{b+2b+…+tb}{t}$=$\frac{2}$ （t+1）（元）．而年平均設(shè)備價(jià)值費(fèi)用為$\frac{a}{t}$（元）．從而y=$\frac{2}$ （t+1）+$\frac{a}{t}$，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：這種設(shè)備使用了t年，年平均設(shè)備維修、消耗費(fèi)用為$\frac{b+2b+…+tb}{t}$=$\frac{2}$ （t+1）（元）．
而年平均設(shè)備價(jià)值費(fèi)用為$\frac{a}{t}$（元）．
從而y=$\frac{2}$ （t+1）+$\frac{a}{t}$=$\frac{2}$+$\frac{bt}{2}$+$\frac{a}{t}$≥$\frac{2}$+$\sqrt{2ab}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{bt}{2}$=$\frac{a}{t}$，即t=$\sqrt{\frac{2a}}$時(shí)等號(hào)成立．
當(dāng)a=450 000，b=1 000時(shí)，t=$\sqrt{\frac{2×450000}{1000}}$=30（年）．
因此，這種設(shè)備的最佳更新年限為30年．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定函數(shù)表達(dá)式是關(guān)鍵．