Question

14．△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊為a、b、c，則下列命題正確的是②③．
①若A＜B，則 cos2A＜cos2B       ②若ab＞c²，則C$＜\frac{π}{3}$
③若a+b＞2c，則 C$＜\frac{π}{3}$          ④若（a+b）c＜2ab，則C＞$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 ①和④取滿足條件，不滿足結(jié)論，判斷為錯(cuò)誤；②利用余弦定理，將c²放大為ab，再結(jié)合均值定理即可證明cosC＞$\frac{1}{2}$，從而證明C＜$\frac{π}{3}$；③利用余弦定理，將c²放大為（$\frac{a+b}{2}$）²，再結(jié)合均值定理即可證明cosC＞$\frac{1}{2}$，從而證明C＜$\frac{π}{3}$．

解答 解：①取A=30°，B=45°，滿足A＜B，此時(shí)cos2A=cos60°=$\frac{1}{2}$，cos2B=cos90°=0，得到cos2A＞cos2B，故①錯(cuò)誤；
②ab＞c²⇒cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞$\frac{2ab-ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$⇒C＜$\frac{π}{3}$，故②正確；
③a+b＞2c⇒cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞$\frac{4（{a}^{2}+^{2}）-（a+b）^{2}}{8ab}$≥$\frac{3}{8}$×$\frac{{a}^{2}+^{2}}{ab}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$⇒C＜$\frac{π}{3}$，故③正確；
④取a=b=2，c=1，滿足（a+b）c＜2ab得：C＜$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$，故④錯(cuò)誤；
故答案為：②③

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理，放縮法證明不等式的技巧，反證法和舉反例法證明不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．