Question

6．已知f（a，b）=$\sqrt{{3}^{2}+（5-a）^{2}}$+$\sqrt{（5-2b）^{2}+（5-b）^{2}}$+$\sqrt{4（b-1）^{2}+（b-a）^{2}}$，其中a，b∈R，則f（a，b）的最小值是4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 f（a，b）表示A（-1，5），B（2，a）的距離與C（5，5）與D（2b，b）的距離與BD的距離的和，設C關于直線y=$\frac{1}{2}$x的對稱點為E（m，n），則f（a，b）≥|AE|，解的答案．

解答 解：f（a，b）=$\sqrt{{3}^{2}+（5-a）^{2}}$+$\sqrt{（5-2b）^{2}+（5-b）^{2}}$+$\sqrt{4（b-1）^{2}+（b-a）^{2}}$表示：
A（-1，5），B（2，a）的距離與C（5，5）與D（2b，b）的距離與BD的距離的和，
所以f（a，b）=|AB|+|CD|+|BD|，
如圖所示：

B在直線x=2上，D在直線y=$\frac{1}{2}$x上，
設C關于直線y=$\frac{1}{2}$x的對稱點為E（m，n），
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{n-5}{m-5}=-2\\ \frac{n+5}{2}=\frac{m+5}{4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}m=7\\ n=1\end{array}\right.$，
∴f（a，b）≥|AE|=4$\sqrt{5}$，當且僅當a=$\frac{7}{2}$，b=$\frac{9}{4}$時取最小值4$\sqrt{5}$，
故答案為：4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查的知識點是兩點之間的距離，正確理解f（a，b）表示的幾何意義，是解答的關鍵．