Question

11．若曲線f（x）=ax³+bx²+cx在x=0處的切線是y=x，且函數(shù)y=f（x）在x=1處取得極小值0，則曲線f（x）的極大值為$\frac{4}{27}$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用在x=0處的切線是y=x，當x=1時，有極小值0，建立方程，求出a，b，c的值，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵x=0處的切線是y=x，
∴f′（0）=1，
∴c=1，
∵函數(shù)y=f（x）在x=1處取得極小值0，
∴f（1）=0，f′（1）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1=0}\\{3a+2b+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x³-2x²+x，
f′（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1），
令f′（x）=0，解的x=1，或x=$\frac{1}{3}$，
由f′（x）＞0得$\frac{1}{3}$＜x＜1此時函數(shù)遞減，
由f′（x）＜0得x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，此時函數(shù)遞增，
∴當x=$\frac{1}{3}$時，函數(shù)有極大值，極大值為f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{27}$-2×$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{27}$．
故答案為：$\frac{4}{27}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的應(yīng)用，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．