Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（3）證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

都成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f（x）=x²+bln（x+1）的定義域?yàn)椋?1，+∞），求導(dǎo)f′（x）=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）分情況討論，①當(dāng)b≥

1

2

時(shí)，由（1）知函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)；②當(dāng)b＜

1

2

時(shí)，解f′（x）=0得兩個(gè)不同的解，x₁=

-1- 1-2b

2

，x₂=

-1+ 1-2b

2

；再討論兩個(gè)解與-1的大小關(guān)系以確定函數(shù)的極值點(diǎn)；
（3）取b=-1，則f（x）=x²-ln（x+1），再令h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），從而求導(dǎo)h′（x）=

3x3+(x-1)2

x+1

＞0在[0，+∞）上恒成立，以確定函數(shù)的單調(diào)性從而證明恒成立問(wèn)題．

解答： 解：（1）f（x）=x²+bln（x+1）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
f′（x）=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

，
令g（x）=2x²+2x+b，
則g（x）在（-1，-

1

2

）上遞減，（-

1

2

，+∞）上遞增；
∴g_min（x）=g（-

1

2

）=-

1

2

+b＞0；
從而g（x）=2x²+2x+b＞0在（-1，+∞）上恒成立，
∴f′（x）＞0；
即當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）①當(dāng)b≥

1

2

時(shí)，由（1）知函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)；
②當(dāng)b＜

1

2

時(shí)，解f′（x）=0得兩個(gè)不同的解，
x₁=

-1- 1-2b

2

，x₂=

-1+ 1-2b

2

；
若b＜0，由于x₁=

-1- 1-2b

2

＜-1，x₂=

-1+ 1-2b

2

＞-1；
∴f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點(diǎn)x₂=

-1+ 1-2b

2

；
若0＜b＜

1

2

時(shí)，x₁=

-1- 1-2b

2

＞-1，x₂=

-1+ 1-2b

2

＞-1；
∴f（x）在x₁=

-1- 1-2b

2

取得極大值，在x₂=

-1+ 1-2b

2

取得極小值；
綜上所述，當(dāng)b＜0時(shí)，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點(diǎn)x₂=

-1+ 1-2b

2

；
當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，f（x）有極大值點(diǎn)x₁=

-1- 1-2b

2

，極小值點(diǎn)x₂=

-1+ 1-2b

2

；
當(dāng)b≥

1

2

時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)；
（3）證明：取b=-1，則f（x）=x²-ln（x+1），
令h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），
則h′（x）=

3x3+(x-1)2

x+1

＞0在[0，+∞）上恒成立，
故h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
故當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有h（x）＞h（0）=0；
即恒有l(wèi)n（x+1）＞x²-x³；
故對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．