設函數(shù)f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.
(1)當b>
1
2
時,判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性;
(2)求函數(shù)f(x)的極值點;
(3)證明對任意的正整數(shù)n,不等式ln(
1
n
+1)>
1
n2
-
1
n3
都成立.
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:計算題,證明題,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用
分析:(1)f(x)=x2+bln(x+1)的定義域為(-1,+∞),求導f′(x)=2x+
b
x+1
=
2x2+2x+b
x+1
,利用導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性;
(2)分情況討論,①當b≥
1
2
時,由(1)知函數(shù)沒有極值點;②當b<
1
2
時,解f′(x)=0得兩個不同的解,x1=
-1-
1-2b
2
,x2=
-1+
1-2b
2
;再討論兩個解與-1的大小關系以確定函數(shù)的極值點;
(3)取b=-1,則f(x)=x2-ln(x+1),再令h(x)=x3-f(x)=x3-x2+ln(x+1),從而求導h′(x)=
3x3+(x-1)2
x+1
>0在[0,+∞)上恒成立,以確定函數(shù)的單調(diào)性從而證明恒成立問題.
解答: 解:(1)f(x)=x2+bln(x+1)的定義域為(-1,+∞),
f′(x)=2x+
b
x+1
=
2x2+2x+b
x+1
,
令g(x)=2x2+2x+b,
則g(x)在(-1,-
1
2
)上遞減,(-
1
2
,+∞)上遞增;
∴gmin(x)=g(-
1
2
)=-
1
2
+b>0;
從而g(x)=2x2+2x+b>0在(-1,+∞)上恒成立,
∴f′(x)>0;
即當b>
1
2
時,f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增;
(2)①當b≥
1
2
時,由(1)知函數(shù)沒有極值點;
②當b<
1
2
時,解f′(x)=0得兩個不同的解,
x1=
-1-
1-2b
2
,x2=
-1+
1-2b
2

若b<0,由于x1=
-1-
1-2b
2
<-1,x2=
-1+
1-2b
2
>-1;
∴f(x)在(-1,+∞)上有唯一的極小值點x2=
-1+
1-2b
2
;
若0<b<
1
2
時,x1=
-1-
1-2b
2
>-1,x2=
-1+
1-2b
2
>-1;
∴f(x)在x1=
-1-
1-2b
2
取得極大值,在x2=
-1+
1-2b
2
取得極小值;
綜上所述,當b<0時,f(x)在(-1,+∞)上有唯一的極小值點x2=
-1+
1-2b
2
;
當0<b<
1
2
時,f(x)有極大值點x1=
-1-
1-2b
2
,極小值點x2=
-1+
1-2b
2
;
當b≥
1
2
時,函數(shù)沒有極值點;
(3)證明:取b=-1,則f(x)=x2-ln(x+1),
令h(x)=x3-f(x)=x3-x2+ln(x+1),
則h′(x)=
3x3+(x-1)2
x+1
>0在[0,+∞)上恒成立,
故h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,
故當x∈(0,+∞)時,恒有h(x)>h(0)=0;
即恒有l(wèi)n(x+1)>x2-x3;
故對任意的正整數(shù)n,不等式ln(
1
n
+1)>
1
n2
-
1
n3
都成立.
點評:本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題的應用,同時考查了分類討論的數(shù)學思想,屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

復數(shù)
1
1-i
+
3
2+3i
-2i在復平面內(nèi)對應的點到原點的距離是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A、B兩島相距100km,B在A的北偏東30°,甲船自A以40km/h的速度向B航行,同時乙船自B以30km/h的速度沿方位角150°(即東偏南60°)方向航行,當兩船之間的距離最小時,兩船合計航行距離(  )
A、等于
65
7
km
B、小于100km
C、大于100km
D、等于100km

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=Asin(2x+φ)+k(-π<φ<0),它的圖象的一條對稱軸是x=
π
8

(1)若A=1,求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若f(x)的最大值為3,最小值為-1,求A與k的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面上取定一點O,從O出發(fā)引一條射線Ox,再取定一個長度單位及計算角度的正方向(取逆時針方向為正).就稱建立了一個極坐標系,這樣,平面上任一點P的位置可用有序數(shù)對(ρ,θ)確定,其中ρ表示線段OP的長度,θ表示從Ox到OP的角度,在極坐標下,給出下列命題:
(1)平面上的點A(2,-
π
6
)與B(2,2kπ+
11π
6
)(k∈Z)重合;
(2)方程θ=
π
3
和方程ρsinθ=2分別都表示一條直線;
(3)動點A在曲線ρ(cos2
θ
2
-
1
2
)=2上,則點A與點O的最短距離為2;
(4)已知兩點A(4,
3
),B(
4
3
3
,
π
6
),動點C在曲線ρ=8上,則△ABC面積的最大值為
40
3
3

其中正確命題的序號為
 
(填上所有正確命題的序號)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知實數(shù)集合A={a+b
2
|a,b∈Q},B={a+b
3
|a,b∈Q}對于實數(shù)集合M⊕N={x+y|x∈M,y∈N},M?N={xy|x∈M,y∈N}.
(1)舉出一個數(shù)m,使得m∈A?B,且m∉A⊕B;
(2)求證:A?A=A.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=
x
lnx
,f(x)=g(x)-ax.
(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),求實數(shù)a的最小值;
(3)若?x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a成立,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,且在雙曲線上存在異于頂點的一點P,滿足tan
∠PF1F2
2
=2tan
∠PF2F1
2
,則該雙曲線的離心率為( 。
A、
3
B、
5
C、2
D、3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在銳角△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,向量
m
=(2a,1),
n
=(cosC,c-2b),且m⊥n.
(1)求角A的大。
(2)求函數(shù)f(C)=1-
2cos2C
1+tanC
的值域.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案