Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AB，AD⊥DC，∠DAC=60°，PA=AC=2，AB=1．
（1）求二面角A-PB-C的余弦值．
（2）在線段CP上是否存在一點E，使得DE⊥PB，若存在，求線段CE的長度，不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）以A為原點建立空間直角坐標系，求出平面PAB和平面PBC的法向量，則法向量的夾角與二面角的大小相等或互補；
（2）作EF⊥AC于F，則EF=FC，設EF=h，求出E點坐標得出$\overrightarrow{DE}$的坐標，令$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PB}$=0解出h，從而得出CE．

解答 解：（1）以A為坐標原點，以AB，AC，AP為坐標軸建立空間直角坐標系，
則P（0，0，2），A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），D（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0）．
∴$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，0）．
顯然$\overrightarrow{AC}$=（0，2，0）為平面PAB的法向量．
設平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2y-2z=0}\\{x-2z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，1）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}$=2，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{AC}$|=2．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴二面角A-PB-C的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
（2）過E作EF⊥AC于F，∴EF∥PA，∴EF=FC．
設EF=h，則E（0，2-h，h）．
∴$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}-$h，h），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-2）．
∵DE⊥PB，∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-2h=0，解得h=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴CE=$\sqrt{2}$h=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考察查了二面角的求法，直線垂直的判斷，使用向量法求解可使計算過程簡單化，屬于中檔題．