Question

4．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線(xiàn)C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M（3，$\sqrt{2}$）在此雙曲線(xiàn)上，且|MF₁|與|MF₂|的夾角的余弦值為$\frac{7}{9}$，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 利用余弦定理求出|MF₁||MF₂|=9b²，利用點(diǎn)M（3，$\sqrt{2}$）在此雙曲線(xiàn)上，得到$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{^{2}}$=1，結(jié)合向量的數(shù)量積公式建立方程關(guān)系求出a，c即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖，在△MF₁F₂中，由余弦定理，
|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁||MF₂|cos∠F₁MF₂，
即4c²=（|MF₁|-|MF₂|）²+2|MF₁||MF₂|-2×$\frac{7}{9}$|PF₁||PF₂|
=4a²+$\frac{4}{9}$|MF₁||MF₂|，
則$\frac{4}{9}$|MF₁||MF₂|=4c²-4a²=4b²，
則|MF₁||MF₂|=9b²，
∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=|MF₁||MF₂|×$\frac{7}{9}$=$\frac{7}{9}$×9b²=7b²，
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（-c-3，-$\sqrt{2}$）•（c-3，-$\sqrt{2}$）=-（c²-9）+2=11-c²．
∴11-c²=7b²，
即11-a²-b²=7b²，則a²=11-8b²，
∵M(jìn)（3，$\sqrt{2}$）在此雙曲線(xiàn)上，
∴$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{^{2}}$=1，將a²=11-8b²，代入$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{^{2}}$=1得$\frac{9}{11-8^{2}}$-$\frac{2}{^{2}}$=1，
整理得4b⁴+7b²-11=0，
即（b²-1）（4b²+11）=0，
則b²=1，a²=11-8b²=11-8=3，c²=11-7b²=11-7=4，
則a=$\sqrt{3}$，c=2，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線(xiàn)離心率的計(jì)算，根據(jù)余弦定理以及向量的數(shù)量積公式建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．