Question

5．已知a＞b＞0，橢圓C₁的方程為$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1，雙曲線C₂的方程為$\frac{y^2}{a^2}$-$\frac{x^2}{b^2}$=1，C₁與C₂的離心率之積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則C₂的漸近線方程為（　　）

• A． $\sqrt{2}$x±y=0
• B． x±$\sqrt{2}$y=0
• C． 2x±y=0
• D． x±2y=0

Answer 1

分析 求出橢圓與雙曲線的離心率，根據(jù)離心率之積的關(guān)系，然后推出a，b關(guān)系，即可求解雙曲線的漸近線方程．

解答 解：a＞b＞0，橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，C₁的離心率為：$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$，
雙曲線C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，C₂的離心率為：$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$，
∵C₁與C₂的離心率之積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}•\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${（\frac{a}）}^{2}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
C₂的漸近線方程為：y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}x$，即x±$\sqrt{2}$y=0
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與雙曲線的基本性質(zhì)，離心率以及漸近線方程的求法，基本知識(shí)的考查，根據(jù)橢圓和雙曲線離心率之間的關(guān)系建立方程是解決本題的關(guān)鍵．