Question

5．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sin（B-C）+cos（B+C）=0．
（1）求角C的大�。�
（2）若c=$\sqrt{2}$，當(dāng)sinA+cos（$\frac{7π}{12}$-B）取得最大值時(shí)，求A，α的值．

Answer 1

分析 （1）直接展開兩角差的正弦和兩角和的余弦，整理后可得角C的大�。�
（2）由（1）可得A+B=$\frac{3π}{4}$，得到$B=\frac{3π}{4}-A$，代入sinA+cos（$\frac{7π}{12}$-B），可得A=$\frac{π}{3}$時(shí)取得最大值，然后由正弦定理求得a的值．

解答 解：（1）由sin（B-C）+cos（B+C）=0，得sinBcosC-cosBsinC+cosBcosC-sinBsinC=0，
即（sinB+cosB）cosC-（sinB+cosB）sinC=0，
∴（sinB+cosB）（sinC-cosC）=0．
∵△ABC為銳角三角形，∴sinB+cosB≠0，則sinC-cosC=0，C=$\frac{π}{4}$；
（2）sinA+cos（$\frac{7π}{12}$-B）=sinA+cos（$\frac{7π}{12}-\frac{3π}{4}+A$）=sinA+cos（A-$\frac{π}{6}$）
=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA$=$\sqrt{3}（\frac{\sqrt{3}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA）$=$\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$．
當(dāng)A=$\frac{π}{3}$時(shí)，sinA+cos（$\frac{7π}{12}$-B）有最大值．
∵c=$\sqrt{2}$，由正弦定理得，$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得a=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．