【題目】設(shè)整數(shù),對(duì)置于個(gè)點(diǎn)及點(diǎn)處的卡片作如下操作:操作:若某個(gè)點(diǎn)處的卡片數(shù)不少于3,則可從中取出三張,在三點(diǎn)、、處各放一張;操作:若點(diǎn)處的卡片數(shù)不少于,則可從中取出張,在個(gè)點(diǎn)處各放一張。證明:只要放置于這個(gè)點(diǎn)處的卡片總數(shù)不少于,則總能通過(guò)若干次操作,使得每個(gè)點(diǎn)處的卡片數(shù)均不少于。
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
僅對(duì)卡片總數(shù)等于證明即可。否則,若放在題設(shè)個(gè)點(diǎn)處的卡片總數(shù)多于,則可以從中隨便拿掉一些,使卡片總數(shù)恰為。
1.先把個(gè)點(diǎn)處的卡片數(shù)均調(diào)整到不少于。
若某個(gè)點(diǎn)處的卡片數(shù)不少于3張,則實(shí)施操作,每一次這樣的操作均使得點(diǎn)處的卡片數(shù)增加1,經(jīng)過(guò)若干次操作后,便不能再實(shí)施操作,此時(shí),每個(gè)點(diǎn)處的卡片數(shù)至多2張,點(diǎn)處的卡片數(shù)至少張;再對(duì)點(diǎn)連續(xù)實(shí)施次操作,使得每個(gè)點(diǎn)處的卡片數(shù)至少有張。
2.保證每個(gè)點(diǎn)處的卡片數(shù)不少于張,經(jīng)歷一些操作,使得點(diǎn)處的卡片數(shù)增加至張。
ⅰ.團(tuán)與好團(tuán)。
把個(gè)點(diǎn)理解為以為圓心的圓周上順次均勻分布的個(gè)點(diǎn),定義相鄰點(diǎn)集(;規(guī)定為一個(gè)團(tuán);若一個(gè)團(tuán)的每個(gè)點(diǎn)均經(jīng)歷一次操作之后,各點(diǎn)處的卡片數(shù)均不少于,則稱之為好團(tuán)。
ⅱ.好團(tuán)的特征
記點(diǎn)處的卡片數(shù)為,則。
1個(gè)點(diǎn)的團(tuán)是好團(tuán)的充分必要條件為;
2個(gè)點(diǎn)的團(tuán)是好團(tuán)的充分必要條件為、;
個(gè)點(diǎn)的團(tuán)是好團(tuán)的充分必要條件為,且;
個(gè)點(diǎn)的團(tuán)是好團(tuán)的充分必要條件為。
ⅲ.當(dāng)點(diǎn)處的卡片數(shù)少于時(shí),必存在好團(tuán)。
假設(shè)此時(shí)不存在好團(tuán)。
則,且。
記滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為。
則。
下面證明:。
因?yàn)?/span>不是好團(tuán),所以,存在。
假設(shè)。則滿足的個(gè)點(diǎn)在圓周上沒(méi)有兩點(diǎn)相鄰(否則會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)的好團(tuán)),且每?jī)蓚(gè)這樣的點(diǎn)之間至少存在一個(gè)滿足的點(diǎn)(否則會(huì)出現(xiàn)的好團(tuán)),于是,必有。
故,矛盾。
因此,在點(diǎn)處的卡片數(shù)少于時(shí),必存在好團(tuán)。
ⅳ.對(duì)好團(tuán)中每個(gè)點(diǎn)實(shí)施操作,使得點(diǎn)處的卡片數(shù)增加至,且有足夠的好團(tuán)保證。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱ABCA1B1C1中(側(cè)棱與底面垂直的棱柱),AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D 是A1B1的中點(diǎn).
(1)求證:C1D⊥平面AA1B1B;
(2)當(dāng)點(diǎn)F 在BB1上的什么位置時(shí),AB1⊥平面C1DF ?并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從1到9的九個(gè)數(shù)字中取三個(gè)偶數(shù)四個(gè)奇數(shù),試問(wèn):
①能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)?
②上述七位數(shù)中三個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)?
③在①中的七位數(shù)中,偶數(shù)排在一起、奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)?
④在①中任意兩偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個(gè)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司招聘員工,先由兩位專家面試,若兩位專家都同意通過(guò),則視作通過(guò)初審予以錄用;若這兩位專家都未同意通過(guò),則視作未通過(guò)初審不予錄用;當(dāng)這兩位專家意見(jiàn)不一致時(shí),再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審,若能通過(guò)復(fù)審則予以錄用,否則不予錄用.設(shè)應(yīng)聘人員獲得每位初審專家通過(guò)的概率均為,復(fù)審能通過(guò)的概率為,各專家評(píng)審的結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)求某應(yīng)聘人員被錄用的概率;
(2)若4人應(yīng)聘,設(shè)X為被錄用的人數(shù),試求隨機(jī)變量X的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題正確的選項(xiàng)為( )
①平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;
②一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行;
③一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線垂直,則該直線與此平面垂直;
④一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.
A.①②B.②③C.①④D.③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)、為平面上兩個(gè)點(diǎn)集,滿足,,且任意三點(diǎn)不共線.在集合和間各連若干條線段,每條線段均一個(gè)端點(diǎn)在集合中,另一個(gè)端點(diǎn)在集合中,且任意兩點(diǎn)間至多連一條線段,記所有線段構(gòu)成的集合為.若集合滿足對(duì)于集合或中任意一點(diǎn)均至少連出條線段,則稱集合是“一好的”.試確定的最大值,使得去掉任意一條線段,集合均不是一好的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足。
(1)若成等比數(shù)列,求的值。
(2)是否存在,使數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的;若不存在,說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種商品在天內(nèi)每克的銷售價(jià)格(元)與時(shí)間的函數(shù)圖象是如圖所示的兩條線段(不包含兩點(diǎn));該商品在 30 天內(nèi)日銷售量(克)與時(shí)間(天)之間的函數(shù)關(guān)系如下表所示:
第天 | 5 | 15 | 20 | 30 |
銷售量克 | 35 | 25 | 20 | 10 |
(1)根據(jù)提供的圖象,寫(xiě)出該商品每克銷售的價(jià)格(元)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)寫(xiě)出一個(gè)反映日銷售量隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的基礎(chǔ)上求該商品的日銷售金額的最大值,并求出對(duì)應(yīng)的值.
(注:日銷售金額=每克的銷售價(jià)格×日銷售量)
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