Question

10．如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，BD⊥CD，將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是（2）（4）．
（1）A′C⊥BD；  （2）∠BA′C=90°；
（3）CA′與平面A′BD所成的角為30°；
（4）四面體A′-BCD的體積為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，依次分析命題：對(duì)于（1），可利用反證法說(shuō)明真假；對(duì)于（2），△BA'D為等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，根據(jù)線面垂直可知∠BA′C=90°；對(duì)于（3）由CA'與平面A'BD所成的角為∠CA'D=45°知真假；對(duì)于（4），利用等體積法求出所求體積進(jìn)行判定即可，綜合可得答案．

解答 解：∵四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，BD⊥CD，平面A'BD⊥平面BCD，則由A′D與BD不垂直，BD⊥CD，故BD與平面A′CD不垂直，則BD僅于平面A′CD與CD平行的直線垂直，故（1）不正確；
由題設(shè)知：△BA'D為等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，于是（2）正確；
由BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，易得CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B，CD⊥A′D，∵A′D=CD，∴△A′CD為等腰直角三角形，∴∠A′DC=45°，則CA′與平面A′BD所成的角為45°，知（3）不正確；
V_A′-BCD=V_C-A′BD=$\frac{1}{6}$，故（4）正確．
故答案為：（2）（4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及三棱錐的體積的計(jì)算，同時(shí)考查了空間想象能力，論證推理能力，解題的關(guān)鍵是須對(duì)每一個(gè)進(jìn)行逐一判定．