Question

2．已知函數(shù)f（x）=|lnx|-k有兩個不同的零點a，b，則代數(shù)式|$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a-b}$|的最小值是（　　）

• A． 8$\sqrt{2}$
• B． 8
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 令f（x）=0，求出方程的兩個根，代入代數(shù)式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)，從而得到答案．

解答 解：令f（x）=|lnx|-k=0，則lnx=±k，
∴x=e^±k，不妨設b=e^-k，a=e^k，
∴|$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a-b}$|=$|\frac{{e}^{2k}{+e}^{-2k}-2+4}{{e}^{k}{-e}^{-k}}|$
=|$\frac{{{（e}^{k}{-e}^{-k}）}^{2}+4}{{e}^{k}{-e}^{-k}}$|=|（e^k-e^-k）+$\frac{4}{{e}^{k}{-e}^{-k}}$|
≥2$\sqrt{4}$=4，
當且僅當（e^k-e^-k）²=4，即k=${e}^{1+\sqrt{3}}$時“=”成立，
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的零點問題，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道基礎題．