Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=

1-an

2

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a_n與S_n的關(guān)系，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法即可求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵S_n=

1-an

2

，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1-an

2

-

1-an-1

2

，
整理得3a_n=a_n-1，即

an

an-1

=

1

3

，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

1-a1

2

，解得a₁=

1

3

，
即數(shù)列{a_n}是以a₁=

1

3

，公比q=

1

3

的等比數(shù)列，即a_n=

1

3

•(

1

3

)n-1=(

1

3

)n．
（2）∵na_n=n（

1

3

）ⁿ，
∴{na_n}的前n項(xiàng)和T_n=1•

1

3

+2•(

1

3

)2+…n（

1

3

）ⁿ，①

1

3

T_n=（

1

3

）²+2•（

1

3

）³+…+（n-1）（

1

3

）ⁿ+n（

1

3

）ⁿ⁺¹，②
兩式相減得

2

3

T_n=

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+…+（

1

3

）ⁿ-n（

1

3

）ⁿ⁺¹=

1 3 (1-( 1 3 )n)

1- 1 3

-n（

1

3

）ⁿ⁺¹=

3

2

-

3

2

•（

1

3

）ⁿ-n（

1

3

）ⁿ⁺¹，
即T_n=

9

4

-

9

4

•（

1

3

）ⁿ-

9n

4

•（

1

3

）ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的計(jì)算，以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的計(jì)算能力．