Question

已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，若點F₂關(guān)于直線y=

b

a

x的對稱點M也在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出過焦點F且垂直漸近線的直線方程，聯(lián)立漸近線方程，解方程組可得對稱中心的點的坐標(biāo)，代入方程結(jié)合a²+b²=c²，解出e即得．

解答： 解：過焦點F且垂直漸近線的直線方程為：y-0=-

a

b

（x-c），
聯(lián)立漸近線方程y=

b

a

x與y-0=-

a

b

（x-c），
解之可得x=

a2

c

，y=

ab

c

故對稱中心的點坐標(biāo)為（

a2

c

，

ab

c

），由中點坐標(biāo)公式可得對稱點的坐標(biāo)為（

2a2

c

-c，

2ab

c

），
將其代入雙曲線的方程可得

(2a2-c2)2

a2c2

-

4a2b2

b2c2

=1，結(jié)合a²+b²=c²，
化簡可得c²=5a²，故可得e=

c

a

=

5

．
故答案為：

5

．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，涉及離心率的求解和對稱問題，屬中檔題．