Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，點(diǎn)M在線段PC上，且PM=2MC，N為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PAD⊥平面PNB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐P-NBM的體積．

Answer 1

分析 （1）由題意證明△PNA≌△BNA，得到BN⊥AD，再由線面垂直的判定證得AD⊥平面PNB，最后由面面垂直的判定得答案；
（2）由面面垂直的性質(zhì)得到PN⊥平面ABCD，進(jìn)一步得到PN⊥BN，再由等積法把三棱錐P-NBM的體積轉(zhuǎn)化為棱錐C-PNB的體積求解．

解答 （1）證明：∵PA=PD，N為AD的中點(diǎn)，∴PN⊥AD，
∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴PA=AB，AN=AN，∠PAN=∠BAN，
∴△PNA≌△BNA，則BN⊥AD，
∵PN∩BN=N，∴AD⊥平面PNB，
又AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PNB；
（2）解：∵PA=PD=AD=2，∴PN=NB=$\sqrt{3}$，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD，
∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥BN，
∴S_△PNB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB，
∵PM=2MC，∴V_P-NBM=V_M-PNB=$\frac{2}{3}$V_C-PNB=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{2}$×2=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查了棱錐、棱柱、棱臺(tái)體積的求法，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．