Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，BC=

2

AB，點(diǎn)E是棱PB中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且PF=

1

4

PC．
（1）求證：AE⊥PC；
（2）求證：平面AEF⊥平面PCD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先根據(jù)線面垂直的判定定理證明出BC⊥平面PAB，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)推斷出AE⊥BC，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明出AE⊥平面PBC，則AE⊥PC得證；
（2）證明△PFA∽△PAC，可得∠PFA=∠PAC=90°，PC⊥AF，利用AE⊥PC，可以證明PC⊥平面AEF，即可證明平面AEF⊥平面PCD．

解答： 證明：（1）∵AP=AB，E是PB的中點(diǎn)，
∴AE⊥PB，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC且PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，
∵AE?平面PAB，
∴AE⊥BC，
∵PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，
∴AE⊥PC；
（2）設(shè)PA=a，則AC=

3

a，∴PC=2a，
∵PF=

1

4

PC，∴PF=

a

2

，
∴△PFA∽△PAC，
∴∠PFA=∠PAC=90°，
∴PC⊥AF，
∵AE∩AF=A，
∴PC⊥平面AEF，
∵PC?平面PCD，
∴平面AEF⊥平面PCD．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直和面面垂直的判定定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生空間觀察能力和推理能力．