Question

5．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁（底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）中，底面邊長AB=3，側(cè)棱AA₁=4，AC₁與A₁C相交于點E，點D是BC的中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥C₁D；
（Ⅱ）求證：AB∥平面ADC₁；
（Ⅲ）求三棱錐C-ABB₁的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AD⊥平面BCC₁B₁，即可證明AD⊥C₁D；
（Ⅱ）連接DE，則DE為△A₁BC的中位線，得到DE∥A₁B，從而得到AB∥平面ADC₁；
（Ⅲ）利用三棱錐C-ABB₁的體積=三棱錐A-CBB₁的體積，代入體積公式進(jìn)行運算．

解答 （Ⅰ）證明：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴C₁C⊥平面ABC，
∵AD?平面ABC，
∴C₁C⊥AD，
∵點D是BC的中點，△ABC為正三角形，
∴AD⊥BC，
∵BC∩C₁C=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵DC₁?平面BCC₁B₁，
∴AD⊥C₁D；
（Ⅱ）證明：連接DE，
∵四邊形A₁ACC₁為矩形，
∴E為A₁C的中點，
∵D為BD的中點，
∴ED∥A₁B，
∵A₁B?平面ADC₁，ED?平面ADC₁，
∴AB∥平面ADC₁；
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AD⊥平面BCC₁B₁，
∵AD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，${S}_{△B{B}_{1}C}$=$\frac{1}{2}×3×4$=6，
∴三棱錐C-ABB₁的體積=三棱錐A-CBB₁的體積=$\frac{1}{3}×6×\frac{3\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查證明線線垂直、線面平行的方法，求三棱錐的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．