Question

15．已知點(diǎn)F為拋物線E：x²=4y的焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線，C為拋物線上的一點(diǎn)（C在第一象限），以點(diǎn)C為圓心，|CF|為半徑的圓與y軸交于D，F(xiàn)兩點(diǎn)，且△CDF為正三角形．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為l上任意一點(diǎn)，過(guò)P作拋物線x²=4y的切線，切點(diǎn)為A，B，判斷直線AB與圓C的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再代入到拋物線的解析式中求出半徑，問(wèn)題得以解決；
（Ⅱ）設(shè)P（t，-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)導(dǎo)數(shù)和幾何意義，求出A，B為切點(diǎn)的切線方程，即可得到直線AB的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離，和半徑的關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系．

解答 解：（I）由已知F（0，1），設(shè)圓C的半徑為r，
因?yàn)椤鰿DF為正三角形，C（$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，|r-1|），
因?yàn)辄c(diǎn)C在拋物線x²=4y上，
得$\frac{3}{4}$r²=4r-4  即3r²-16r+16=0，
解得r=4或r=$\frac{4}{3}$
所以圓C的方程為C₁：（x-2$\sqrt{3}$）²+（y-3）²=16，
或C₂：（x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+（y-$\frac{1}{3}$）²=$\frac{16}{9}$ 
（II）（方法一）
因?yàn)闇?zhǔn)線l為y=-1，設(shè)P（t，-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因?yàn)閥=$\frac{{x}^{2}}{4}$，所以y′=$\frac{x}{2}$，
A（x₁，y₁）為切點(diǎn)的切線方程為：y-y₁=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），y₁=$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$，即y=$\frac{{x}_{1}}{2}$x-y₁，
因?yàn)榍芯�過(guò)P（t，-1），得-1=$\frac{{x}_{1}}{2}$t-y₁，①
同理可得-1=$\frac{{x}_{2}}{2}$t-y₂，②
所以直線AB方程為-1=$\frac{1}{2}$xt-y，即tx-2y+2=0，
圓心C₁（2$\sqrt{3}$，3），r₁=4，C₁到直線距離d₁=$\frac{|2\sqrt{3}t-4|}{\sqrt{4+{t}^{2}}}$
可得d₁²-16=$\frac{-4（t+2\sqrt{3}）^{2}}{{t}^{2}+4}$≤0
所以t=-2$\sqrt{3}$時(shí)，d₁=4，直線AB與圓C₁相切．
t≠-2$\sqrt{3}$時(shí)，d₁＜4直線AB與圓C₁相交．
所以直線AB與圓C₂相交或相切．
同理可證，直線AB與圓C₂相交或相切．
所以直線AB與圓C₁，C₂相交或相切．
（注：因?yàn)橹本�AB過(guò)定點(diǎn)f（0，1），且斜率$\frac{t}{2}$∈R
因?yàn)镕（0，1）在圓C₁，C₂相上，所以直線AB與圓C₁，C₂相交或相切．這樣答扣1分）
（方法二）設(shè)設(shè)P（t，-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為y=kx+b，代入拋物線E的方程得x²-4kx-4b=0  所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
因?yàn)閥=$\frac{{x}^{2}}{4}$，所以y′=$\frac{x}{2}$，
A（x₁，y₁）為切點(diǎn)的切線方程為：y-y₁=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），y₁=$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$，即y=$\frac{{x}_{1}}{2}$x-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$，①
B（x₂，y₂）為切點(diǎn)的切線方程為y=$\frac{{x}_{2}}{2}$x-$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$②
聯(lián)立①②得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=2k}\\{y=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}=-b}\end{array}\right.$                   
所以$\left\{\begin{array}{l}{2k=t}\\{-b=-1}\end{array}\right.$  所以$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{t}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
所以直線AB方程為y=$\frac{1}{2}$xt+1，
以下與（方法一）相同

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查直線與圓，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，抽象思維能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．