Question

已知三次函數(shù)f（x）=x³-3x²-9x+a的圖象為曲線C，則下列說法中正確的是

 

．
①f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上遞增；
②若f（x）至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為[-5，27]；
③對任意x₁，x₂∈[-1，3]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤32；
④曲線C的對稱中心為（1，f（1））．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：①，f′（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），當(dāng)x≤-1或x≥3時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在（-∞，-1]，[3，+∞）上單調(diào)遞增，可判斷①；
②，若f（x）至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則

f(-1)≥0 f(3)≤0

，可求得a的取值范圍，可判斷②；
③，依題意，知|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（-1）-f（3）|=|（5+a）-（a-27）|=32，可判斷③；
④，f″（x）=6x-6，由f″（x）=0得：x=1，可判斷④．

解答： 解：對于①，∵f（x）=x³-3x²-9x+a，
∴f′（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），
當(dāng)x≤-1或x≥3時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在（-∞，-1]，[3，+∞）上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤；
對于②，由①知，當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極大值f（-1）=5+a，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取得極小值f（3）=a-27，
若f（x）至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則

f(-1)≥0 f(3)≤0

，解得-5≤a≤27，故②正確；
對于③，∵f（x）在[-1，3]上單調(diào)遞減，
∴對任意x₁，x₂∈[-1，3]，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（-1）-f（3）|=|（5+a）-（a-27）|=32，故③正確；
對于④，∵f′（x）=3x²-6x-9，
∴f″（x）=6x-6，由f″（x）=0得：x=1，
∴曲線C的對稱中心為（1，f（1）），即④正確；
故答案為：②③④．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，著重考查函數(shù)的單調(diào)性與極值、考查二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于難題．