Question

已知函數(shù)f（x）=（x-a）lnx．
（Ⅰ）若直線y=x+b與f（x）在x=1處相切，求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）在定義域上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：分類討論,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，求得切點（1，0），結合切線方程和函數(shù)導數(shù)，即可得到a，b的值；
（Ⅱ）由題意可得x＞0，f′（x）=

x-a

x

+lnx=

x+xlnx-a

x

＞0，即有a＜x+xlnx，設g（x）=x+xlnx，運用導數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，可得極小值，也為最小值，討論a與最小值的關系，即可得到所求范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=（x-a）lnx的導數(shù)為
f′（x）=

x-a

x

+lnx（x＞0），
由f（1）=0，則切點為（1，0），
代入切線方程，可得b=-1，
由切線斜率為1，則有1=1-a，解得a=0；
（Ⅱ）由題意可得x＞0，f′（x）=

x-a

x

+lnx=

x+xlnx-a

x

＞0，
即有a＜x+xlnx，
設g（x）=x+xlnx，則g′（x）=2+lnx，
當0＜x＜e^-2時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當x＞e^-2時，g′（x）＞0，g（x）遞增．
x=e^-2處g（x）取得極小值-e^-2．
當a＜-e^-2時，f′（x）＞0，
當a=-e^-2時，f′（e²）=0，x∈（0，e^-2）∪（e^-2，+∞），f′（x）＞0，
故若f（x）在定義域上單調(diào)遞增時，a≤-e^-2．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間及極值、最值，運用參數(shù)分離和不等式的恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值是解題的關鍵．