Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²-（a+1）x（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）有兩個不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)曲線C：y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線為l，若l在點(diǎn)A處穿過曲線C（即動點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線y=f（x）運(yùn)動，經(jīng)過點(diǎn)A時，從l的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，由題意知，方程2ax²-（a+1）x+1=0在（0，+∞）上有兩個相異實(shí)根，運(yùn)用二次方程實(shí)根的分布，即可得到a的取值范圍；
（Ⅱ）求出切線方程，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-[ax-（a+1）]=lnx+ax²-（2a+1）x+（a+1），則g（1）=0，討論a＜0，a=0，0＜a＜

1

2

，a=

1

2

，a＞

1

2

，函數(shù)的極值情況，即可加以判斷．

解答： （Ⅰ） 解：函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），f′(x)=

1

x

+2ax-(a+1)=

2ax2-(a+1)x+1

x

．
由題意知，方程2ax²-（a+1）x+1=0在（0，+∞）上有兩個相異實(shí)根，
則a≠0且

△=(a+1)2-4•2a＞0 a+1 2a ＞0 1 2a ＞0

⇒0＜a＜3-2

2

或a＞3+2

2

．     
即知實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，3-2

2

)∪(3+2

2

，+∞)．       
（Ⅱ） 解：f′（1）=a，切線l的方程為y=f′（1）（x-1）+f（1）=a（x-1）-1=ax-（a+1）
構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-[ax-（a+1）]=lnx+ax²-（2a+1）x+（a+1），則g（1）=0．
依題意g（x）的函數(shù)值在x=1附近的兩側(cè)異號，因此x=1一定不是g（x）的極值點(diǎn)．g′(x)=

1

x

+2ax-(2a+1)=

2ax2-(2a+1)x+1

x

=

(x-1)(2ax-1)

x

①若a＜0，則g′(x)=

2a(x-1)(x- 1 2a )

x

．當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＞0；
 x∈（1，+∞）時，g'（x）＜0．則x=1是g（x）的極大值點(diǎn)，不符合題意；
②若a=0，則g′(x)=-

x-1

x

．當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＞0； x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0．
則x=1是g（x）的極大值點(diǎn)，不符合題意；
③若0＜a＜

1

2

，則g′(x)=

2a(x-1)(x- 1 2a )

x

，其中

1

2a

＞1．
當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，

1

2a

）時，g′（x）＜0，則x=1是g（x）的極大值點(diǎn)，不合題意．
④若a=

1

2

，則

1

2a

=1，g′（x）=

(x-1)2

x

≥0，故g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，符合題意．
⑤當(dāng)a＞

1

2

時，則g′（x）=

2a(x-1)(x- 1 2a )

x

，其中0＜

1

2a

＜1，當(dāng)x∈（

1

2a

，1）時，g′（x）＜0
當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，則x=1是g（x）的極小值點(diǎn)，不合題意．
綜上可得，a=

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的極值概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、切線、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及二次方程根的分布等基礎(chǔ)知識，同時考查抽象概括能力和推理論證能力．