Question

11．設(shè)拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點F在y軸正半軸上，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，線段AB的長是8，AB的中點到x軸的距離是3．
（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）在拋物線上是否存在不與原點重合的點P，使得過點P的直線交拋物線于另一點Q，滿足PF⊥QF，且直線PQ與拋物線在點P處的切線垂直？并請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)拋物線的方程為x²=2py，由拋物線的定義和已知條件可得p的方程，解p可得；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），x₁≠0，Q（x₂，y₂），由切線和垂直關(guān)系以及韋達定理可得y₁的方程，解y₁進而可得x₁，可得符合題意的點P．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)拋物線的方程為x²=2py（p＞0），
設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
由拋物線定義可知y_A+y_B+p=8，
又AB中點到x軸的距離為3，
∴y_A+y_B=6，∴p=2，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x²=4y；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），x₁≠0，Q（x₂，y₂），
則x²=4y在P處的切線方程是y=$\frac{{x}_{1}}{2}$x-y₁，
直線PQ：y=-$\frac{2}{{x}_{1}}$x+2+y₁代入x²=4y得x²+$\frac{8}{{x}_{1}}$x-4（2+y₁）=0，
由韋達定理可得x₁+x₂=-$\frac{8}{{x}_{1}}$，x₁x₂=-8-4y₁，
∴x₂=-$\frac{8}{{x}_{1}}$-x₁，y₂=$\frac{4}{{y}_{1}}$+y₁+4，
而$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$=y₁²-2y₁-$\frac{4}{{y}_{1}}$-7=0，
整理可得y₁³-2y₁²-7y₁-4=0，（y₁＞0），
變形可得y₁³+y₁²-3y₁²-7y₁-4=0，
可得y₁²（y₁+1）-3y₁²-7y₁-4=0，
可得y₁²（y₁+1）-（3y₁²+7y₁+4）=0，
即y₁²（y₁+1）-（y₁+1）（3y₁+4）=0，
可得（y₁+1）（y₁²-3y₁-4）=0，
可得（y₁+1）（y₁+1）（y₁-4）=0
即（y₁+1）²（y₁-4）=0，
解得y₁=4，故存在點P（±4，4）滿足題意．

點評 本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和韋達定理的應(yīng)用，屬中檔題．