Question

3．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ACD=90°，AB=1，AD=2，ABEF為正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，P為線段DF上一點．
（1）若P為DF中點，求證：BF∥平面ACP；
（2）若二面角P-AC-F的正弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求AP與平面ABCD所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）連接BD并與AC交于O，連接PO，便可得到BF∥PO，根據(jù)線面平行的判定定理即可得出BF∥平面ACP；
（2）容易說明AB，AC，AF三直線兩兩垂直，從而可分別以這三直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，然后可確定點A，D，F(xiàn)的坐標．若過P作PG∥AF，作GH∥AB，便容易說明向量$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{HP}$的夾角即為二面角P-AC-F的大小，從而根據(jù)條件求出點P的坐標，而$\overrightarrow{AF}$是平面ABCD的法向量，從而根據(jù)AF和平面ABCD所成角θ的正弦值sinθ=|cos$＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AF}＞$|求出θ的大�。�

解答 解：（1）證明：如圖，連接BD交AC于O，連接PO，則：
PO為△BDF的中位線；
∴PO∥BF，即BF∥PO；
PO?平面ACP，BF?平面ACP；
∴BF∥平面ACP；
（2）∵∠ACD=90°；
∴AC⊥AB；
∵平面ABEF⊥平面ABCD，交線為AB，AF⊥AB；
∴AF⊥平面ABCD；
∴AB，AC，AF三條直線兩兩垂直；
∴分別以AB，AC，AF所在直線為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則：
A（0，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)（0，0，1），D（$-1，\sqrt{3}，0$）；
設(shè)P（x，y，z），設(shè)$\overrightarrow{DP}=λ\overrightarrow{DF}，（0＜λ＜1）$；
∴$（x+1，y-\sqrt{3}，z）=λ（1，-\sqrt{3}，1）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=λ-1}\\{y=\sqrt{3}-\sqrt{3}λ}\\{z=λ}\end{array}\right.$；
∴$P（λ-1，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ，λ）$；
過P作PG∥AF，交AD于G，則PG⊥平面ABCD，作GH∥AB，交AC于H，連接PH，則：
GH⊥AC，PH⊥AC；
又AF⊥平面ABCD，AF⊥AC；
∴向量$\overrightarrow{AF}$和$\overrightarrow{HP}$的夾角即為二面角P-AC-F的大小；
并且H的坐標為（0，$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$，0）；
∴$\overrightarrow{HP}=（λ-1，0，λ）$，$\overrightarrow{AF}=（0，0，1）$；
∵二面角P-AC-F的正弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
∴二面角P-AC-F的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
∴$cos＜\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{HP}＞$=$\frac{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{HP}}{|\overrightarrow{AF}||\overrightarrow{HP}|}$=$\frac{λ}{\sqrt{（λ-1）^{2}+{λ}^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
解得$λ=\frac{2}{3}$，或λ=2（舍去）；
∴$P（-\frac{1}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{2}{3}）$；
∴$\overrightarrow{AP}=（-\frac{1}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{2}{3}）$；
$\overrightarrow{AF}$為平面ABCD的法向量，設(shè)AP與平面ABCD所成角為θ，則：
sinθ=$|cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AF}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AF}|}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴AP與平面ABCD所成角的大小為$\frac{π}{4}$．

點評 考查中位線的性質(zhì)，線面平行的判定定理，建立空間直角坐標系，利用向量解決面面角和線面角的問題的方法，能確定空間點的坐標，線面垂直的性質(zhì)定理，二面角的平面角的概念，共線向量基本定理，以及向量夾角余弦的坐標公式，線面角的定義，平面法向量的概念．