Question

1．設(shè)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}，x＜a\\{x^2}，x≥a.\end{array}\right.$若存在實數(shù)b，使得函數(shù)g（x）=f（x）-b有兩個零點(diǎn)，則a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}，x＜a\\{x^2}，x≥a.\end{array}\right.$ 的圖象和直線y=b有2個交點(diǎn)，分類討論、數(shù)形結(jié)合求得a的取值范圍．

解答 解：由題意可得函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}，x＜a\\{x^2}，x≥a.\end{array}\right.$ 的圖象
和直線y=b有2個交點(diǎn)．
當(dāng)a＞1時，f（x）的圖象如圖（1）所示，
a³≥a²，存在實數(shù)b∈[a²，a³），
使f（x）的圖象和直線y=b有2個交點(diǎn)．
當(dāng)a∈[0，1]時，a²≥a³，f（x）的圖象如圖（2）所示，
f（x）在R上單調(diào)遞增，
不存在實數(shù)b，使f（x）的圖象和直線y=b有2個交點(diǎn)．
當(dāng)a＜0時，f（x）的圖象如圖（3）所示，
存在實數(shù)b∈（0，a² ]，使f（x）的圖象和直線y=b有2個交點(diǎn)．
綜上可得，a的范圍為：（-∞，0）∪（1，+∞），
故答案為：（-∞，0）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)和方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．