Question

2．如圖，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=$\sqrt{2}$，AD⊥PB，將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）若M是側(cè)棱PB中點，求證：CM∥平面PAD；
（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若M是側(cè)棱PB中點，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明CM∥平面PAD；
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．

解答 證明：（1）在梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=$\sqrt{2}$，AD⊥PB，
∴AB=2，PA=1，AD=1，
取PA的中點N，連接MN，AN，
則MN∥AB∥CD，且MN=CD=1，
則四邊形MNDC為平行四邊形，
則CM∥DN，
∵CM?平面PAD，DN?平面PAD，
∴CM∥平面PAD；
（2）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，
面PAD∩面ABCD=AD，PA?面PAD
∴PA⊥面ABCD，
建立以A為坐標(biāo)原點，以AD，AB，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A（0，0，0），D（1，0，0），B（0，2，0），P（0，0，1），C（1，1，0），
則$\overrightarrow{PB}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），$\overrightarrow{DP}$=（-1，0，1），
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=-x+z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則z=1，
即$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
直線PB與平面PCD所成角的正弦值sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PB}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}$|=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題主要考查線面平行的判定，以及直線和平面所成角的求解，建立坐標(biāo)系，利用向量法是解決線面所成角的常用方法．