Question

16．已知f（x）是R上的奇函數(shù)，f（1）=2，且對(duì)任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，則f（3）=0；f（2013）=0．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x+6）=f（x）+f（3）需要令x=-3，代入求出f（-3）=0，由奇函數(shù)的定義求出f（3）=0，代入關(guān)系式求出此函數(shù)的周期，利用周期性即可求出f（2013）．

解答 解：由題意知，f（x+6）=f（x）+f（3），令x=-3，
∴f（3）=f（-3）+f（3），即f（-3）=0，
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（3）=0，
故f（x+6）=f（x），
∴f（x）是周期為6的周期函數(shù)，
∴f（2013）=f（6×335+3）=f（3）=0，
故答案為：0，0．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道抽象函數(shù)問(wèn)題，題目的設(shè)計(jì)“小而巧”，解題的關(guān)鍵是巧妙的賦值，利用其奇偶性得到函數(shù)的周期性，再利用周期性求函數(shù)值．靈活的“賦值法”是解決抽象函數(shù)問(wèn)題的基本方法，屬于中檔題．