Question

17．已知函數(shù)y=f（x）的圖象為如圖所示的折線(xiàn)，則${∫}_{-1}^{1}$[（x+2）f（x）]dx=（　�。�

• A． 1
• B． -1
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 利用待定系數(shù)法先求出函數(shù)f（x）在[-1，1]上的表達(dá)式，利用分段函數(shù)的積分公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）是線(xiàn)段，過(guò)（-1，0），（0，1），
此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)方程為$\frac{x}{-1}+\frac{y}{1}$=1，即-x+y=1，
則此時(shí)y=f（x）=x+1，-1≤x≤0，
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）是線(xiàn)段，過(guò)（1，0），（0，1），
此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)方程為$\frac{x}{1}+\frac{y}{1}=1$，即x+y=1，
則此時(shí)y=f（x）=-x+1，0≤x≤1，
則${∫}_{-1}^{1}$[（x+2）f（x）]dx=∫${\;}_{-1}^{0}$[（x+2）（x+1）]dx+${∫}_{0}^{1}$[（x+2）（-x+1）]dx
=∫${\;}_{-1}^{0}$（x²+3x+2）dx+${∫}_{0}^{1}$（-x²-x+2）dx
=（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{3}{2}$x²+2x）|${\;}_{-1}^{0}$+（-$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+2x）|${\;}_{0}^{1}$
=0-（-$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{2}$-2）+（-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$+2）
=$\frac{1}{3}$-$\frac{3}{2}$+2-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$+2=2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)積分的計(jì)算，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式以及利用分段函數(shù)的積分公式是解決本題的關(guān)鍵．