Question

5．某一天，一船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡．根據(jù)測量，這一天水流速度為3km/h，方向正東，風(fēng)的方向為北偏西30°，受風(fēng)力影響，靜水中船的漂行速度為3km/h，若要使該船由南向北沿垂直與河岸的方向以2$\sqrt{3}$km/h的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向．

Answer 1

分析 根據(jù)題意建立直角坐標系，設(shè)$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{x}$、$\overrightarrow{c}$分別是水速、風(fēng)影響船速、船速、最后合成之實際船速，畫出圖形，由題意列出方程求出$\overrightarrow{x}$，由向量的模求出船實際航行的速度，由反三角函數(shù)求出方向．

解答 解建立如圖所示的直角坐標系，
設(shè)$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{x}$、$\overrightarrow{c}$分別是水速、風(fēng)影響船速、船速、最后合成之實際船速，如圖$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，
由題意得，$\overrightarrow{a}$=（3，0），$\overrightarrow$=（$\frac{3}{2}$，$-\frac{3\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（0，$2\sqrt{3}$）
[單位：km/h]，
∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{c}$，∴$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（$-\frac{9}{2}$，$\frac{7\sqrt{3}}{2}$）
∴|$\overrightarrow{x}$|=$\sqrt{（-\frac{9}{2}）^{2}+（{\frac{7\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{57}$，
由sinα=$\frac{\frac{9}{2}}{\sqrt{57}}$=$\frac{9\sqrt{57}}{114}$得，$\overrightarrow{x}$方向：北偏西arcsin$\frac{9\sqrt{57}}{114}$，
∴船本身的速度大小及方向分別是$\sqrt{57}$、北偏西arcsin$\frac{9\sqrt{57}}{114}$．

點評 本題考查了向量在物理中的應(yīng)用，向量加減混合運算以及幾何意義，解題時注意船在靜水中速度，水流速度和船的實際速度三個概念的區(qū)分，考查數(shù)形結(jié)合思想．