Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a_n=2n-33，記b_n=$\frac{Sn}{n•{2}^{n}}$，則b_n取最大值時(shí)，n=33或34．

Answer 1

分析 由于a_n=2n-33，可知：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，S_n=n（n-32），可得b_n=$\frac{n-32}{{2}^{n}}$，當(dāng)n≤32時(shí)，b_n≤0；當(dāng)n≥33時(shí)，b_n＞0，作差b_n-b_n+1=$\frac{n-33}{{2}^{n+1}}$，即可判斷出取得最大值時(shí)的n的值．

解答 解：∵a_n=2n-33，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，S_n=$\frac{n（-31+2n-33）}{2}$=n（n-32），
∴b_n=$\frac{{S}_{n}}{n•{2}^{n}}$=$\frac{n（n-32）}{n•{2}^{n}}$=$\frac{n-32}{{2}^{n}}$，
當(dāng)n≤32時(shí)，b_n≤0；
當(dāng)n≥33時(shí)，b_n＞0，
此時(shí)b_n-b_n+1=$\frac{n-32}{{2}^{n}}-\frac{n-31}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n-33}{{2}^{n+1}}$，
當(dāng)n=33時(shí)，b₃₃=b₃₄＞0，
當(dāng)n≥34時(shí)，b_n＞b_n+1，此時(shí)數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減．
綜上可得：只有當(dāng)n=33或34時(shí)，b_n取最大值$\frac{1}{{2}^{33}}$．
故答案為：33或34．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．