Question

14．已知由不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y-kx≤2}\\{y-x-4≤0}\end{array}\right.$所確定的平面區(qū)域Ω的面積為7，點M（x，y）∈Ω，則z=x-2y的最小值是（　�。�

• A． -8
• B． -7
• C． -6
• D． -4

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)陰影部分確定對應(yīng)的面積，求出k的值，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求最值即可．

解答 解：依題意畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y-x-4≤0}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域（如右圖所示）
可知其圍成的區(qū)域是等腰直角三角形面積為8，
由直線y=kx+2恒過點B（0，2），且原點的坐標(biāo)恒滿足y-kx≤2，
當(dāng)k=0時，y≤2，此時平面區(qū)域Ω的面積為6，
由于6＜7，由此可得k＜0．
由$\left\{\begin{array}{l}{y-kx=2}\\{y-x-4=0}\end{array}\right.$，可得D（$\frac{2}{k-1}$，$\frac{4k-2}{k-1}$），
依題意應(yīng)有$\frac{1}{2}×2•|\frac{2}{k-1}|=1$，
解得k=-1（k=3，舍去）
由z=x-2y得y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y+x≤2}\\{y-x-4≤0}\end{array}\right.$對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：
平移直線y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
由圖象可知當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，過點D時，直線y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最大，此時z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y+x=2}\\{y-x-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即D（-1，3）．
代入目標(biāo)函數(shù)z=x-2y，
得z=-1-2×3=-7．
∴目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最小值是-7．
故選：B．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，先根據(jù)區(qū)域面積求出k的值，以及利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．